Persamaan Garis Lurus Matematika kelas 8 SMP
Halo, selamat datang di blog saya. Kali ini saya akan membahas tentang persamaan garis lurus matematika kelas 8 SMP. Apa itu persamaan garis lurus? Bagaimana cara menggambar dan menghitungnya? Apa saja sifat-sifatnya? Bagaimana cara menentukan persamaan garis yang melalui dua titik atau yang memotong dua garis lain? Semua pertanyaan itu akan saya jawab dalam artikel ini. Mari kita mulai.
A. Pengertian Persamaan Garis lurus
Persamaan garis lurus adalah persamaan yang menghubungkan nilai x dan y pada suatu garis lurus. Garis lurus adalah himpunan titik-titik yang memiliki jarak yang sama dari dua titik tetap yang disebut titik pangkal dan titik ujung. Garis lurus juga memiliki kemiringan atau gradien yang tetap.
Untuk menggambar garis lurus, kita perlu menggunakan sistem koordinat Cartesius. Sistem koordinat Cartesius adalah sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu tegak lurus, yaitu sumbu x (horizontal) dan sumbu y (vertikal). Titik potong kedua sumbu disebut titik pusat atau titik O (0,0). Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dapat ditentukan oleh sepasang bilangan yang disebut koordinat (x,y).
1. Koordinat Cartesius
a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius
Untuk menggambar titik pada koordinat Cartesius, kita perlu mengetahui nilai x dan y dari titik tersebut. Misalnya, titik A (2,3) berarti titik A berada pada jarak 2 satuan ke kanan dari titik O dan jarak 3 satuan ke atas dari titik O. Kita dapat menggambar titik A dengan cara mengukur jaraknya dari sumbu x dan sumbu y, lalu menandainya dengan huruf A.
b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Untuk menggambar garis pada koordinat Cartesius, kita perlu mengetahui minimal dua titik yang terletak pada garis tersebut. Misalnya, garis AB melalui titik A (2,3) dan B (4,5). Kita dapat menggambar garis AB dengan cara menghubungkan titik A dan B dengan pensil atau penggaris.
2. Menggambar Persamaan garis lurus
Untuk menggambar persamaan garis lurus, kita perlu mengetahui bentuk umum persamaan garis lurus, yaitu y = mx + c. Dalam persamaan ini, m adalah gradien atau kemiringan garis, dan c adalah konstanta atau nilai y ketika x = 0 (titik potong sumbu y). Misalnya, persamaan garis y = 2x + 1 berarti gradien garis adalah 2 dan konstanta garis adalah 1.
Untuk menggambar persamaan garis y = 2x + 1, kita dapat menggunakan dua cara:
- Cara pertama: mencari dua titik yang memenuhi persamaan tersebut, lalu menghubungkannya dengan garis. Misalnya, kita dapat memilih x = 0 dan x = 2 sebagai nilai x yang mudah dihitung. Jika x = 0, maka y = 2(0) + 1 = 1. Jadi, kita mendapatkan titik (0,1) sebagai salah satu titik pada garis. Jika x = 2, maka y = 2(2) + 1 = 5. Jadi, kita mendapatkan titik (2,5) sebagai titik lainnya pada garis. Kita dapat menggambar garis yang melalui kedua titik tersebut dengan penggaris.
- Cara kedua: mencari titik potong sumbu y dan gradien garis, lalu menggambar garis dengan menggunakan penggaris dan busur derajat. Misalnya, kita tahu bahwa persamaan garis y = 2x + 1 memiliki titik potong sumbu y di (0,1) dan gradien 2. Kita dapat menggambar titik (0,1) pada koordinat Cartesius, lalu mengukur sudut antara garis dan sumbu x dengan busur derajat. Karena gradien 2 berarti setiap kenaikan 1 satuan pada sumbu x menyebabkan kenaikan 2 satuan pada sumbu y, maka sudut antara garis dan sumbu x adalah 63,4°. Kita dapat menggambar garis yang membentuk sudut 63,4° dengan sumbu x dan melalui titik (0,1) dengan penggaris.
B. Gradien
1. Pengertian Gradien
Gradien adalah ukuran kemiringan atau kecuraman suatu garis lurus. Gradien dapat positif, negatif, nol, atau tak hingga. Gradien positif berarti garis lurus naik dari kiri ke kanan. Gradien negatif berarti garis lurus turun dari kiri ke kanan. Gradien nol berarti garis lurus sejajar dengan sumbu x. Gradien tak hingga berarti garis lurus sejajar dengan sumbu y.
2. Perhitungan Gradien
a. Menghitung Gradien pada Persamaan garis y=mx
Persamaan garis y = mx adalah persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan memiliki gradien m. Untuk menghitung gradien pada persamaan ini, kita cukup melihat nilai m pada persamaan tersebut. Misalnya, persamaan garis y = 3x memiliki gradien 3.
b. Menghitung Gradien pada Persamaan garis y=mx+c
Persamaan garis y = mx + c adalah persamaan garis yang memiliki gradien m dan konstanta c. Untuk menghitung gradien pada persamaan ini, kita juga cukup melihat nilai m pada persamaan tersebut. Misalnya, persamaan garis y = -2x + 5 memiliki gradien -2.
c. Menghitung Gradien pada Persamaan garis ax+by+c=0
Persamaan garis ax + by + c = 0 adalah persamaan garis yang memiliki koefisien a dan b untuk x dan y, serta konstanta c. Untuk menghitung gradien pada persamaan ini, kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut untuk y terlebih dahulu, lalu melihat nilai m yang diperoleh. Misalnya, persamaan garis 2x + 3y - 6 = 0 dapat ditulis sebagai y = (-2/3)x + 2. Jadi, gradiennya adalah -2/3.
d. Menghitung Gradien pada Garis yang melalui dua titik
Jika kita mengetahui dua titik yang terletak pada suatu garis lurus, kita dapat menghitung gradiennya dengan rumus:
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Dalam rumus ini, (x1,y1) dan (x2,y2) adalah koordinat dari dua titik tersebut. Misalnya, jika kita memiliki titik A (1,4) dan B (3,8) yang terletak pada suatu garis lurus, maka gradiennya adalah:
\[m = \frac{8 - 4}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\]
3. Sifat-sifat gradien
a. Gradien yang sejajar dengan sumbu-x
Garis yang sejajar dengan sumbu x memiliki gradien nol. Hal ini karena tidak ada perubahan nilai y ketika nilai x berubah. Misalnya, persamaan garis y = 3 adalah persamaan garis yang sejajar dengan sumbu x dan memiliki gradien nol.
b. Gradien yang sejajar dengan sumbu-y
Garis yang sejajar dengan sumbu y memiliki gradien tak hingga. Hal ini karena tidak ada perubahan nilai x ketika nilai y berubah. Misalnya, persamaan garis x = 2 adalah persamaan garis yang sejajar dengan sumbu y dan memiliki gradien tak hingga.
c. Gradien Dua Garis yang Sejajar
Dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Hal ini karena kedua garis tersebut memiliki kemiringan yang sama. Misalnya, persamaan garis y = 2x + 1 dan y = 2x - 3 adalah persamaan dua garis yang sejajar dan memiliki gradien 2.
d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Dua garis yang tegak lurus memiliki gradien yang berkebalikan dan berbalik tanda. Hal ini karena kedua garis tersebut membentuk sudut 90 derajat satu sama lain. Misalnya, persamaan garis y = 3x + 2 dan y = (-1/3)x - 4 adalah persamaan dua garis yang tegak lurus dan memiliki gradien 3 dan -1/3.
C. Menentukan Persamaan Garis Lurus
1. Rumus y-y1=m(x-x1)
Rumus ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu dan memiliki gradien tertentu. Dalam rumus ini, (x1,y1) adalah koordinat dari titik tersebut, dan m adalah gradien dari garis tersebut. Misalnya, jika kita ingin menentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,5) dan memiliki gradien 4, maka kita dapat menggunakan rumus ini sebagai berikut:
\[y - 5 = 4(x - 2)\]
\[y - 5 = 4x - 8\]
\[y = 4x - 3\]
Jadi, persamaan garis lurusnya adalah y = 4x - 3.
2. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik.
Jika kita mengetahui dua titik yang terletak pada suatu garis lurus, kita dapat menentukan persamaan garis lurusnya dengan cara:
- Menghitung gradiennya dengan rumus \[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
- Memilih salah satu titik sebagai (x1,y1) dan menggunakan rumus \[y-y1=m(x-x1)\] untuk mendapatkan persamaan garis lurusnya.
Misalnya, jika kita ingin menentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A (1,4) dan B (3,8), maka kita dapat melakukan langkah-langkah berikut:
- Menghitung gradiennya dengan rumus \[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
\[m = \frac{8 - 4}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\]
- Memilih salah satu titik sebagai (x1,y1), misalnya A (1,4), dan menggunakan rumus \[y-y1=m(x-x1)\] untuk mendapatkan persamaan garis lurusnya.
\[y - 4 = 2(x - 1)\]
\[y - 4 = 2x - 2\]
\[y = 2x + 2\]
Jadi, persamaan garis lurusnya adalah y = 2x + 2.
3. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus.
Jika kita mengetahui persamaan dari dua garis lurus, kita dapat menentukan koordinat titik potong dari kedua garis tersebut dengan cara:
- Menyelesaikan sistem persamaan linear dari kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y dari titik potong.
- Jika sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi unik, maka kedua garis tersebut tidak berpotongan atau sejajar.
- Jika sistem persamaan tersebut memiliki solusi unik, maka solusi tersebut adalah koordinat titik potong dari kedua garis tersebut.
Misalnya, jika kita ingin menentukan koordinat titik potong dari dua garis lurus y = 3x + 2 dan y = -x - 4, maka kita dapat melakukan langkah-langkah berikut:
- Menyelesaikan sistem persamaan linear dari kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y dari titik potong.
\[y = 3x + 2\]
\[y = -x - 4\]
Dengan cara menyamakan nilai y dari kedua persamaan, kita dapat menyelesaikan untuk x terlebih dahulu.
\[3x + 2 = -x - 4\]
\[4x = -6\]
\[x = -\frac{3}{2}\]
Lalu, kita dapat mengganti nilai x yang diperoleh ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai y.
\[y = 3(-\frac{3}{2}) + 2\]
\[y = -\frac{7}{2}\]
- Karena sistem persamaan tersebut memiliki solusi unik, maka solusi tersebut adalah koordinat titik potong dari kedua garis tersebut.
Jadi, koordinat titik potong dari dua garis lurus tersebut adalah \[(-\frac{3}{2},-\frac{7}{2})\].
Demikianlah artikel yang saya buat tentang persamaan garis lurus matematika kelas 8 SMP. Semoga artikel ini dapat membantu Anda memahami materi ini dengan lebih baik. Jika Anda memiliki pertanyaan, saran, atau kritik, silakan tulis di kolom komentar di bawah ini. Terima kasih telah membaca dan sampai jumpa di artikel selanjutnya.👋
