Determinan matriks 4×4 dengan cara ekspansi Laplace

Determinan matriks 4×4 adalah sebuah bilangan yang dapat dihitung dari sebuah matriks berukuran 4 baris dan 4 kolom. Salah satu cara untuk menghitung determinan matriks 4×4 adalah dengan menggunakan metode ekspansi Laplace, yaitu dengan mengembangkan determinan matriks 4×4 menjadi empat determinan matriks 3×3.

Cara kerjanya adalah sebagai berikut:

1. Pilih salah satu baris atau kolom dari matriks 4×4. Misalnya, kita pilih baris pertama.

2. Koefisien ekspansi Laplace dari elemen \(a_{ij}\) dalam matriks adalah:

\[ \text{Koefisien Ekspansi Laplace} = (-1)^{i+j} \times a_{ij} \]

Di mana \(i\) adalah nomor baris dari elemen tersebut, dan \(j\) adalah nomor kolomnya. Koefisien ini akan digunakan dalam langkah-langkah perhitungan ekspansi Laplace untuk menghitung determinan matriks 4×4.

3. Untuk setiap elemen di baris atau kolom yang dipilih, buat sebuah matriks 3×3 dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung elemen tersebut dari matriks 4×4. Hitung determinan dari matriks 3×3 tersebut.

4. Kalikan koefisien ekspansi Laplace dari setiap elemen dengan determinan matriks 3×3 yang bersesuaian. Jumlahkan hasil perkalian tersebut untuk mendapatkan determinan matriks 4×4.

Contoh:

Misalkan kita memiliki matriks 4×4 berikut:

\[A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & -1 \\2 & -1 & -2 & 1 \\-1 & 2 & -1 & -2 \\-2 & 1 & 2 & -1\end{bmatrix}\]

Kita akan menggunakan metode ekspansi Laplace untuk menghitung determinan matriks A. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Pilih salah satu baris atau kolom dari matriks 4×4. Misalnya, kita pilih baris pertama.

2. Untuk setiap elemen di baris atau kolom yang dipilih, hitung koefisien ekspansi Laplace-nya. Koefisien ekspansi Laplace dari elemen \(a_{ij}\) adalah \((-1)^{i+j} a_{ij}\), di mana \(i\) adalah indeks baris dan \(j\) adalah indeks kolom.

3. Untuk setiap elemen di baris atau kolom yang dipilih, buat sebuah matriks 3×3 dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung elemen tersebut dari matriks 4×4. Hitung determinan dari matriks 3×3 tersebut.

4. Kalikan koefisien ekspansi Laplace dari setiap elemen dengan determinan matriks 3×3 yang bersesuaian. Jumlahkan hasil perkalian tersebut untuk mendapatkan determinan matriks 4×4.

Sekarang, mari kita lanjutkan perhitungannya:

Kita pilih baris pertama sebagai baris yang akan digunakan untuk ekspansi Laplace. Maka, koefisien ekspansi Laplace dari setiap elemen di baris pertama adalah:

\[\begin{aligned}(-1)^{1+1} \times 1 &= +1 \\(-1)^{1+2} \times (-2) &= +2 \\(-1)^{1+3} \times3 &= 3 \\(-1)^{1+4} \times (-1) &= +1\end{aligned}\]

Matriks 3×3 yang dibuat dari setiap elemen di baris pertama adalah:

\[M_{11} = \begin{bmatrix}-1 & -2 & 1 \\2 & -1 &-2 \\1 & 2 & -1\end{bmatrix}\]

\[M_{12} = \begin{bmatrix}2 & -2 & 1 \\-1 & -1 &-2 \\-2 & 2 & -1\end{bmatrix}\]

\[M_{13} = \begin{bmatrix}2 & -1 & 1 \\-1 & 2 &-2 \\-2 & 1 & -1\end{bmatrix}\]

\[M_{14} = \begin{bmatrix}2 & -1 & -2 \\-1 & 2 &-1 \\-2 & 1 & 2\end{bmatrix}\]

Sekarang, kita akan menghitung determinan dari setiap matriks 3×3 tersebut:

\[\begin{aligned}|M_{11}| &= 0 \\|M_{12}| &= 0 \\|M_{13}| &= 0 \\|M_{14}| &= 0\end{aligned}\]

Maka, determinan matriks A adalah:

\[|A| = (+1)(0) + (+2)(0) + (3)(0) + (+1)(0) = 0\]

Jadi, determinan matriks A adalah 0.