Limit aljabar
Limit Aljabar
I. Pengertian
Bentuk tak tentu:
- \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 0^0 \)
Bentuk tentu:
- \( \frac{p}{q} = k \in \mathbb{R} \) (Real number)
- \( \frac{p}{0} \) tidak terdefinisi (\( p \neq 0, q = 0 \))
Definisi Limit: Mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tentu.
II. Penyelesaian Limit
A. Cara Langsung
Jika diperoleh bentuk tentu, substitusi nilai langsung ke fungsi.
\( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 4x}{x^2 - 9} = \frac{(2)^2 + 4(2)}{(2)^2 - 9} = \frac{12}{-5} \)
B. Cara Tidak Langsung
Jika diperoleh bentuk tak tentu, gunakan metode berikut:
B.1. Dengan Pemfaktoran
\( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 15x + 36} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-12)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x-12} = \frac{1}{-9} \)
B.2. Dengan Differensial (Turunan)
Khusus untuk bentuk \( \frac{0}{0} \) atau \( \frac{\infty}{\infty} \), gunakan turunan:
\( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^3 - 8} = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 6}{3x^2} = -\frac{1}{6} \)
B.3. Dengan Perkalian Sekawan
Gunakan jika terdapat akar kuadrat dalam fungsi.
\( \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{7x - 5} - \sqrt{3x + 7}}{x - 3} = \frac{1}{2} \)
B.4. Dengan Membagi Pangkat Tertinggi
Gunakan untuk fungsi rasional dengan pangkat tinggi variabel.
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 5x^2 - 12x^3}{13 + 4x + 3x^3} = -4 $$
III. Metode Lanjutan
A. Dengan Perkalian Sekawan
Metode ini digunakan jika terdapat akar kuadrat dalam fungsi. Langkahnya adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang.
\( \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{7x - 5} - \sqrt{3x + 7}}{x - 3} \)
Langkah:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan \( \sqrt{7x - 5} + \sqrt{3x + 7} \):
\( = \lim_{x \to 3} \frac{(7x - 5) - (3x + 7)}{(x - 3)(\sqrt{7x - 5} + \sqrt{3x + 7})} \)
Penyederhanaan:
\( = \lim_{x \to 3} \frac{4(x - 3)}{(x - 3)(\sqrt{7x - 5} + \sqrt{3x + 7})} = \frac{4}{2(4)} = \frac{1}{2} \).
B. Dengan Membagi Pangkat Tertinggi
Metode ini digunakan untuk fungsi rasional dengan pangkat tinggi pada pembilang dan penyebut.
\( \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 5x^2 - 12x^3}{13 + 4x + 3x^3} \)
Langkah:
Bagi semua suku dengan pangkat tertinggi (\( x^3 \)):
\( = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{x^2} + \frac{5}{x} - 12}{\frac{13}{x^3} + \frac{4}{x^2} + 3} = -4. \)
C. Bentuk Khusus
Untuk limit tertentu yang melibatkan akar kuadrat, gunakan rumus khusus:
\( \lim_{x \to c} (\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{ax^2 + px + q}) = \frac{b - p}{2\sqrt{a}}. \)
Contoh:
\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{4x^2 + 12x + 3} - \sqrt{4x^2 - 6x + 5}) = \frac{12 - (-6)}{2\sqrt{4}} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}. \)
IV. Kesimpulan
Pemahaman tentang berbagai metode penyelesaian limit sangat penting untuk menentukan nilai limit dari fungsi aljabar, terutama ketika menghadapi bentuk tak tentu seperti \(0/0\) atau \(∞/∞\). Dengan menggunakan metode yang sesuai, kita dapat menyederhanakan fungsi hingga memperoleh hasil yang pasti.
Materi pdf
