Turunkan fungsi naik dan turunan serta nilai stasioner
Fungsi Naik dan Turun
Definisi
- Fungsi y = f(x) dikatakan naik pada interval x0 < x < x1 jika f(x0) < f(x1).
- Fungsi y = f(x) dikatakan turun pada interval x0 < x < x1 jika f(x0) > f(x1).
Syarat:
- Fungsi naik: f'(x) > 0
- Fungsi turun: f'(x) < 0
Titik Stasioner / Extreem / Kritis
Titik stasioner adalah titik di mana garis singgung kurva sejajar dengan sumbu x, yang berarti gradiennya = 0. Jika (x0, y0) adalah titik stasioner, maka y0 = f(x0) disebut nilai stasioner.
- Titik balik maksimum jika f''(x0) < 0
- Titik balik minimum jika f''(x0) > 0
- Titik belok jika f''(x0) = 0
Nilai Maximum dan Minimum Fungsi Dalam Interval Tertutup
Nilai maksimum dan minimum fungsi y = f(x) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b dapat dicari pada:
- Titik-titik stasioner dalam interval tersebut.
- Nilai fungsi pada ujung-ujung interval f(a) dan f(b).
Contoh Soal
Jumlah dua buah bilangan asli adalah 20. Tentukan bilangan-bilangan tersebut supaya hasil kalinya terbesar dan hitunglah berapa besarnya.
Jawaban
Misalkan bilangan pertama adalah x, maka bilangan kedua adalah 20 - x. Fungsi hasil kali adalah K(x) = x(20 - x) = 20x - x2.
Untuk mencari nilai maksimum, kita cari turunan pertama dan setarakan dengan nol:
K'(x) = 20 - 2x = 0
2x = 20
x = 10
Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 10 dan 10, dan hasil kalinya adalah 10 × 10 = 100.
