Bilangan Kompleks
Bilangan Kompleks
1. Pengertian Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk a + bi, dimana:
- a = bagian real (Re)
- b = bagian imajiner (Im)
- i = unit imajiner, dimana i² = -1
2. Operasi Dasar Bilangan Kompleks
2.1 Penjumlahan dan Pengurangan
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
(3 + 4i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i
2.2 Perkalian
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(2 + 3i)(4 - 5i) = (2×4 - 3×(-5)) + (2×(-5) + 3×4)i
= (8 + 15) + (-10 + 12)i = 23 + 2i
2.3 Pembagian
(a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c - di)]/[(c + di)(c - di)]
= [(ac + bd) + (bc - ad)i]/(c² + d²)
3. Bentuk Polar Bilangan Kompleks
Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk polar:
z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ
dimana:
- r = |z| = √(a² + b²) = modulus
- θ = arg(z) = arctan(b/a) = argumen
4. Bentuk Eksponensial
z = re^(iθ)
Bentuk ini equivalent dengan bentuk polar karena:
e^(iθ) = cos θ + i sin θ (Formula Euler)
5. Konjugat Kompleks
Untuk bilangan kompleks z = a + bi, konjugatnya adalah:
z̄ = a - bi
Sifat penting:
- z × z̄ = a² + b²
- |z| = √(z × z̄)
6. Rumus-rumus Penting
- Modulus: |z| = √(a² + b²)
- Argumen: θ = arctan(b/a) + k, dimana:
- k = 0 jika a > 0
- k = π jika a < 0
- k = π/2 jika a = 0 dan b > 0
- k = -π/2 jika a = 0 dan b < 0
- Re(z) = a
- Im(z) = b
7. Representasi Geometris
Bilangan kompleks dapat direpresentasikan pada bidang kompleks:
8. Tips Mengerjakan Soal
- Untuk operasi dasar, pisahkan bagian real dan imajiner
- Untuk pembagian, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut
- Untuk soal bentuk polar:
- Konversi dari kartesius: hitung r dan θ
- Konversi ke kartesius: gunakan r cos θ untuk bagian real dan r sin θ untuk bagian imajiner
- Untuk bentuk eksponensial, ingat hubungan e^(iθ) = cos θ + i sin θ
9. Kesalahan Umum yang Harus Dihindari
- Melupakan tanda negatif saat mengalikan dengan i (ingat i² = -1)
- Salah menentukan kuadran saat mencari argumen
- Lupa mengalikan dengan konjugat saat melakukan pembagian
- Salah menginterpretasikan bentuk polar ke kartesius atau sebaliknya
Latihan Soal Bilangan Kompleks
Soal 1
Tentukan hasil dari (4 + 3i) + (2 - 5i)
Langkah Penyelesaian:
- Pisahkan bagian real dan imajiner
- Real: 4 + 2 = 6
- Imajiner: 3i + (-5i) = -2i
- Hasil akhir: 6 - 2i
Soal 2
Tentukan hasil dari (2 + i)(3 - 2i)
Langkah Penyelesaian:
- Gunakan metode FOIL:
- First: 2 × 3 = 6
- Outer: 2 × (-2i) = -4i
- Inner: i × 3 = 3i
- Last: i × (-2i) = -2i² = 2 (karena i² = -1)
- Gabungkan: 6 - 4i + 3i + 2 = 8 - i
Soal 3
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar r(cos θ + i sin θ)
Langkah Penyelesaian:
- Hitung modulus r:
r = √(1² + 1²) = √2 - Hitung argumen θ:
θ = arctan(1/1) = 45° - Substitusi ke bentuk polar:
z = √2(cos 45° + i sin 45°)
Soal 4
Hitunglah hasil pembagian (3 + 2i)/(1 - i)
Langkah Penyelesaian:
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut (1 + i):
(3 + 2i)(1 + i)/(1 - i)(1 + i) - Selesaikan pembilang:
= (3 + 3i + 2i + 2i²)/(1 + 1)
= (3 + 5i - 2)/(2)
= (1 + 5i)/2 - Hasil akhir: 1/2 + (5/2)i
Soal 5
Ubah z = 2e^(iπ/3) ke dalam bentuk a + bi
Langkah Penyelesaian:
- Gunakan formula Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ
- z = 2e^(iπ/3) = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
- cos(π/3) = 1/2
sin(π/3) = √3/2 - z = 2(1/2 + i√3/2)
= 1 + i√3
Soal 6
Gambarkan bilangan kompleks z = 2 + 2i dan tentukan modulusnya
Langkah Penyelesaian:
- Plot titik (2,2) pada bidang kompleks
- Hitung modulus menggunakan teorema Pythagoras:
|z| = √(2² + 2²)
= √8
= 2√2 - Modulus adalah jarak dari titik asal ke titik z
Soal 7
Tentukan salah satu akar kuadrat dari 2i
Langkah Penyelesaian:
- Ubah ke bentuk polar:
2i = 2(cos(90°) + i sin(90°)) - Gunakan formula akar:
r^(1/2)(cos((θ + 360°k)/2) + i sin((θ + 360°k)/2))
k = 0,1 - Untuk k = 0:
√2(cos(45°) + i sin(45°))
= 1 + i
