Irisan kerucut elips 1

-


Irisan Kerucut: Elips - Teori dan Rumus Lengkap

1. Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang memiliki sifat jumlah jarak dari suatu titik pada elips ke dua titik tertentu (fokus) adalah konstan. Elips merupakan salah satu bentuk irisan kerucut yang terjadi bila sebuah kerucut dipotong oleh sebuah bidang yang memotong kerucut dengan sudut lebih besar dari sudut garis pelukis kerucut terhadap sumbu kerucut.

2. Unsur-unsur Elips

Titik-titik Penting:

  • Titik O: Pusat elips
  • Titik F₁, F₂: Fokus elips
  • Titik A,B,C,D: Puncak elips

Sumbu-sumbu:

  • AB: sumbu mayor (sumbu terpanjang)
  • CD: sumbu minor (sumbu terpendek)
  • KL dan MN: Latus Rectum (LR)

3. Persamaan Standar Elips

A. Pusat O(0,0)

1. Sumbu mayor horizontal (sejajar sumbu x):

x²/a² + y²/b² = 1

2. Sumbu mayor vertikal (sejajar sumbu y):

x²/b² + y²/a² = 1

B. Pusat P(h,k)

1. Sumbu mayor horizontal:

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1

2. Sumbu mayor vertikal:

(x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1

4. Parameter Penting Elips

Rumus-rumus Dasar:

  • c² = a² - b² (hubungan a, b, dan c)
  • e = c/a (eksentrisitas)
  • LR = 2b²/a (panjang latus rectum)

Koordinat Titik Penting:

Untuk pusat di O(0,0):

  • Fokus: (±c,0) atau (0,±c)
  • Puncak: (±a,0) dan (0,±b) atau (0,±a) dan (±b,0)

5. Garis Direktriks

Persamaan garis direktriks:

  • x = ±a²/c (untuk sumbu mayor horizontal)
  • y = ±a²/c (untuk sumbu mayor vertikal)

6. Contoh Penerapan

Soal:

Tentukan unsur-unsur elips dengan persamaan: 4x² + 9y² - 48x + 72y + 144 = 0

Penyelesaian:

  1. Kelompokkan suku-suku x dan y:

    (4x² - 48x) + (9y² + 72y) + 144 = 0

  2. Sempurnakan kuadrat:

    4(x² - 12x + 36) + 9(y² + 8y + 16) - 144 + 144 + 144 = 0

    4(x - 6)² + 9(y + 4)² = 144

  3. Bentuk standar:

    (x - 6)²/36 + (y + 4)²/16 = 1

  4. Maka diperoleh:
    • Pusat: P(6, -4)
    • a = 6, b = 4
    • c = √(a² - b²) = √(36 - 16) = √20 = 2√5
    • Fokus: (6 ± 2√5, -4)
    • Puncak: (6 ± 6, -4) dan (6, -4 ± 4)
    • LR = 2b²/a = 2(16)/6 = 16/3
O F₁ F₂ C D A B

7. Sifat-sifat Penting

  1. 0 < e < 1 (eksentrisitas elips selalu kurang dari 1)
  2. a > b (panjang sumbu mayor selalu lebih besar dari sumbu minor)
  3. PF₁ + PF₂ = 2a (jumlah jarak titik pada elips ke kedua fokus = konstan = 2a)
  4. Luas elips = πab

Latihan Soal Elips

Soal 1: Persamaan Standar Elips

Soal: Tentukan unsur-unsur elips dari persamaan berikut:

9x² + 16y² = 144

Penyelesaian:

  1. Ubah ke bentuk standar:

    x²/16 + y²/9 = 1

  2. Identifikasi:
    • a² = 16, maka a = 4
    • b² = 9, maka b = 3
    • c² = a² - b² = 16 - 9 = 7
    • c = √7
  3. Unsur-unsur elips:
    • Pusat: O(0,0)
    • Sumbu mayor horizontal
    • Fokus: F₁(-√7,0) dan F₂(√7,0)
    • Vertex: A(-4,0) dan B(4,0)
    • Co-vertex: C(0,-3) dan D(0,3)

Soal 2: Persamaan dengan Pusat P(h,k)

Soal: Tentukan persamaan elips dengan pusat P(3,-2), sumbu mayor vertikal dengan panjang 10, dan sumbu minor dengan panjang 6.

Penyelesaian:

  1. Identifikasi:
    • Pusat: (h,k) = (3,-2)
    • Sumbu mayor vertikal, maka 2a = 10, a = 5
    • Sumbu minor horizontal, maka 2b = 6, b = 3
  2. Gunakan rumus dengan pusat P(h,k) dan sumbu mayor vertikal:

    (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1

  3. Substitusi nilai:

    (x-3)²/9 + (y+2)²/25 = 1

Soal 3: Latus Rectum dan Eksentrisitas

Soal: Pada elips x²/25 + y²/9 = 1, tentukan:

  1. Panjang latus rectum
  2. Eksentrisitas elips
  3. Persamaan direktriks

Penyelesaian:

  1. Identifikasi nilai:
    • a² = 25, maka a = 5
    • b² = 9, maka b = 3
    • c² = a² - b² = 25 - 9 = 16, maka c = 4
  2. Panjang latus rectum:

    LR = 2b²/a = 2(9)/5 = 18/5

  3. Eksentrisitas:

    e = c/a = 4/5 = 0,8

  4. Persamaan direktriks:

    x = ±a²/c = ±25/4 = ±6,25

Soal 4: Titik pada Elips

Soal: Pada elips dengan persamaan 4x² + 16y² = 64, tentukan:

  1. Koordinat fokus
  2. Koordinat vertex
  3. Koordinat co-vertex

Penyelesaian:

  1. Ubah ke bentuk standar:

    x²/16 + y²/4 = 1

  2. Identifikasi:
    • a² = 16, maka a = 4
    • b² = 4, maka b = 2
    • c² = a² - b² = 16 - 4 = 12
    • c = 2√3
  3. Koordinat titik-titik:
    • Fokus: F₁(-2√3,0) dan F₂(2√3,0)
    • Vertex: A(-4,0) dan B(4,0)
    • Co-vertex: C(0,-2) dan D(0,2)

Soal 5: Transformasi Bentuk Umum

Soal: Ubahlah persamaan elips berikut ke bentuk standar dan tentukan koordinat pusat serta panjang sumbu-sumbunya:

4x² + 9y² - 24x + 36y + 36 = 0

Penyelesaian:

  1. Kelompokkan x dan y:

    (4x² - 24x) + (9y² + 36y) + 36 = 0

  2. Sempurnakan kuadrat:
    • 4(x² - 6x + 9 - 9) + 9(y² + 4y + 4 - 4) + 36 = 0
    • 4(x - 3)² - 36 + 9(y + 2)² - 36 + 36 = 0
    • 4(x - 3)² + 9(y + 2)² = 36
  3. Bentuk standar:

    (x - 3)²/9 + (y + 2)²/4 = 1

  4. Maka:
    • Pusat: P(3,-2)
    • a = 3 (sumbu mayor horizontal)
    • b = 2 (sumbu minor vertikal)



Latihan Soal Garis Singgung Elips

Rumus-rumus Penting Garis Singgung

  1. Garis singgung di titik (x₁,y₁):

    x₁x/a² + y₁y/b² = 1

  2. Gradien garis singgung di titik (x₁,y₁):

    m = -(b²x₁)/(a²y₁)

  3. Garis singgung dengan gradien m:

    y = mx ± √(a²m² + b²)

Soal 1: Garis Singgung di Titik

Soal: Tentukan persamaan garis singgung pada elips x²/25 + y²/16 = 1 di titik (3,3.2).

Penyelesaian:

  1. Identifikasi:
    • a² = 25, maka a = 5
    • b² = 16, maka b = 4
    • Titik singgung: (x₁,y₁) = (3,3.2)
  2. Verifikasi bahwa titik terletak pada elips:

    3²/25 + 3.2²/16 = 0.36 + 0.64 = 1 ✓

  3. Gunakan rumus garis singgung di titik:

    xx₁/a² + yy₁/b² = 1

  4. Substitusi nilai:

    3x/25 + 3.2y/16 = 1

  5. Sederhanakan:

    48x + 80y = 400

    3x + 5y = 25

Soal 2: Garis Singgung dengan Gradien

Soal: Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x² + 9y² = 36 yang sejajar dengan garis y = 2x + 1.

Penyelesaian:

  1. Ubah persamaan elips ke bentuk standar:

    x²/9 + y²/4 = 1

  2. Identifikasi:
    • a² = 9, maka a = 3
    • b² = 4, maka b = 2
    • Gradien yang diketahui m = 2
  3. Gunakan rumus garis singgung dengan gradien m:

    y = mx ± √(a²m² + b²)

  4. Substitusi nilai:

    y = 2x ± √(9(4) + 4)

    y = 2x ± √40

  5. Jadi persamaan garis singgungnya adalah:

    y = 2x + 2√10

    y = 2x - 2√10

Soal 3: Gradien Garis Singgung

Soal: Tentukan gradien garis singgung pada elips 9x² + 16y² = 144 di titik (2,2).

Penyelesaian:

  1. Ubah persamaan ke bentuk standar:

    x²/16 + y²/9 = 1

  2. Identifikasi:
    • a² = 16, maka a = 4
    • b² = 9, maka b = 3
    • Titik (x₁,y₁) = (2,2)
  3. Gunakan rumus gradien:

    m = -(b²x₁)/(a²y₁)

  4. Substitusi nilai:

    m = -(9·2)/(16·2)

    m = -9/16

Soal 4: Garis Singgung Tegak Lurus

Soal: Tentukan persamaan garis singgung pada elips x²/16 + y²/9 = 1 yang tegak lurus dengan garis 3x + 4y = 12.

Penyelesaian:

  1. Identifikasi:
    • a² = 16, maka a = 4
    • b² = 9, maka b = 3
    • Gradien garis yang diketahui: m₁ = -3/4
    • Gradien yang dicari: m = 4/3 (tegak lurus)
  2. Gunakan rumus garis singgung dengan gradien:

    y = mx ± √(a²m² + b²)

  3. Substitusi nilai:

    y = (4/3)x ± √(16(16/9) + 9)

    y = (4/3)x ± 5

  4. Jadi persamaan garis singgungnya:

    y = (4/3)x + 5

    y = (4/3)x - 5

Soal 5: Aplikasi Garis Singgung

Soal: Sebuah elips memiliki persamaan 4x² + 16y² = 64. Tentukan persamaan garis singgung yang:

  1. Melalui titik (2,1)
  2. Sejajar dengan sumbu-x

Penyelesaian:

  1. Ubah ke bentuk standar:

    x²/16 + y²/4 = 1

  2. Untuk garis singgung melalui (2,1):
    • Gunakan rumus: x₁x/16 + y₁y/4 = 1
    • Substitusi (2,1): 2x/16 + y/4 = 1
    • Sederhanakan: x/8 + y/4 = 1
    • x + 2y = 8
  3. Untuk garis sejajar sumbu-x:
    • m = 0
    • y = ± √b² = ±2
    • Persamaan: y = 2 dan y = -2

Catatan: Dalam menyelesaikan soal garis singgung elips, perhatikan kondisi yang diberikan (titik singgung, gradien, atau kondisi khusus) dan pilih metode penyelesaian yang sesuai.




Quiz 1







Popular posts from this blog

Latihan ekponen, bentuk akar, logaritma

-
Image
  Eksponen Definisi eksponen: a n = a × a × a × ... × a n faktor Dimana: a = bilangan pokok n = eksponen/pangkat Sifat-sifat Eksponen a - n = 1 a n , a ≠ 0 a m n = a m a 0 = 1 , a ≠ 0 Operasi-operasi Eksponen a m × a n = a m + n a m a n = a m - n ( a m )
Read more

Trigonometri kelas 10a

-
Image
Teori Trigonometri Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga. Berikut ini adalah penjelasan lengkap tentang konsep-konsep dasar trigonometri: Ukuran Sudut Terdapat dua jenis ukuran sudut yang umum digunakan dalam trigonometri: 1. Derajat : Satu putaran penuh = 360° $$1^{\circ} = \frac{1}{360} \text{ putaran}$$ 2. Radian : Perbandingan antara panjang busur dengan jari-jari lingkaran $$\alpha \text{ radian} = \frac{\text{panjang busur}}{\text{jari-jari}}$$ Hubungan antara derajat dan radian: $$1 \text{ radian} = \frac{180^{\circ}}{\pi}$$ $$1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ radian}$$ Fungsi Trigonometri Dasar Terdapat enam fungsi trigonometri dasar yang didefinisikan dalam segitiga siku-siku: 1. Sinus (sin) : $$\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$$ 2. Cosinus (cos) : $$\cos \alpha = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}$$ 3. Tangen (tan) : $$\tan \alpha = \frac{\text{sisi dep
Read more

Aljabar 7C

-
Image
Aljabar: Konsep Dasar dan Operasi 1. Bentuk Aljabar Bentuk aljabar adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel, konstanta, dan operasi matematika. Contoh: 3x + 2y - 7 Komponen Bentuk Aljabar: Variabel: Huruf yang mewakili nilai yang tidak diketahui (x, y, z) Koefisien: Angka yang mengalikan variabel (3 dalam 3x) Konstanta: Angka tanpa variabel (-7 dalam contoh di atas) Suku: Bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi penjumlahan atau pengurangan 2. Operasi Aljabar a. Penjumlahan dan Pengurangan Hanya suku-suku sejenis yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contoh: (3x + 2y) + (5x - 3y) = 8x - y b. Perkalian Gunakan sifat distributif untuk mengalikan bentuk aljabar. Contoh: (x + 3)(x + 7) = x² + 10x + 21 c. Pembagian Pembagian bentuk aljabar dapat dilakukan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebut. Contoh: (x² - 4) ÷ (x - 2) = x + 2 3. Pemfaktoran Pemfaktoran adalah proses menguraikan bentuk aljabar menjadi
Read more