Matriks

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan ditulis di antara dua tanda kurung. Bilangan-bilangan yang tersusun dalam matriks disebut elemen atau unsur matriks.

Bentuk umum matriks:
A = [a_ij]_m×n = [

a11	a12	⋯	a1n
a21	a22	⋯	a2n
⋮	⋮	⋱	⋮
am1	am2	⋯	amn

]

2. Jenis-jenis Matriks

a. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom (n × n)

b. Matriks Diagonal

Matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol

c. Matriks Identitas

Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1

Contoh Matriks Identitas 3×3:
I = [

1	0	0
0	1	0
0	0	1

]

3. Operasi Matriks

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Syarat: Kedua matriks harus memiliki ordo yang sama

A + B = [a_ij + b_ij]
A - B = [a_ij - b_ij]

b. Perkalian Matriks dengan Skalar

kA = [k × a_ij]

c. Perkalian Matriks

Syarat: Jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua

(AB)_ij = Σ(a_ik × b_kj)

4. Sifat-sifat Operasi Matriks

• A + B = B + A (Komutatif untuk penjumlahan)
• (A + B) + C = A + (B + C) (Asosiatif untuk penjumlahan)
• AB ≠ BA (Tidak komutatif untuk perkalian)
• (AB)C = A(BC) (Asosiatif untuk perkalian)
• A(B + C) = AB + AC (Distributif)

5. Determinan Matriks

Determinan adalah nilai yang diperoleh dari perhitungan khusus terhadap matriks persegi.

Matriks 2×2:

det(A) = |A| = |

a	b
c	d

| = ad - bc

6. Invers Matriks

Syarat: Matriks harus persegi dan determinannya tidak nol

A^-1 = 1/|A| × adj(A)

Adjoin dan Invers Matriks 3×3

1. Matriks Kofaktor

Untuk mencari adj(A), pertama kita perlu mencari matriks kofaktor. Kofaktor adalah nilai determinan minor yang diberi tanda positif atau negatif sesuai dengan pola:

Pola tanda kofaktor:
[

+	-	+
-	+	-
+	-	+

]

2. Mencari Minor

Minor M_ij adalah determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.

Untuk matriks 3×3:
A = [

a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

]

Minor M₁₁ = |

a22	a23
a32	a33

|

3. Mencari Kofaktor

Kofaktor C_ij = (-1)^i+j × M_ij

Matriks kofaktor:
C = [

C11	C12	C13
C21	C22	C23
C31	C32	C33

]

4. Mencari Adjoin

Adjoin adalah transpose dari matriks kofaktor.

adj(A) = C^T

5. Langkah-langkah Mencari Invers Matriks 3×3

Langkah 1: Hitung Determinan

|A| = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

Langkah 2: Cek Syarat Invers

Pastikan |A| ≠ 0

Langkah 3: Hitung Semua Minor

Hitung 9 determinan matriks 2×2 untuk setiap elemen

Langkah 4: Buat Matriks Kofaktor

Kalikan setiap minor dengan (-1)^i+j

Langkah 5: Buat Adjoin

Transpose matriks kofaktor untuk mendapatkan adj(A)

Langkah 6: Hitung Invers

A^-1 = 1/|A| × adj(A)

6. Contoh Perhitungan

Diberikan matriks:
A = [

2	-1	0
-1	2	-1
0	-1	2

]

1. Determinan = 4
2. Minor M₁₁ = |2 -1|-1 2| = 4
3. Kofaktor C₁₁ = (+1)(4) = 4
4. Adjoin = [

4	2	1
2	4	2
1	2	4

]

5. A^-1 = 1/4 × [

4	2	1
2	4	2
1	2	4

]

7. Sifat-sifat Penting

• (A^-1)^-1 = A
• (A^T)^-1 = (A^-1)^T
• (AB)^-1 = B^-1A^-1
• AA^-1 = A^-1A = I

Latihan Soal Matriks Komprehensif

A. Operasi Dasar Matriks

Soal 1: Penjumlahan dan Perkalian Skalar

Diketahui matriks:

P = [

2	1
3	4

] dan Q = [

1	-1
2	3

]

Tentukan:

1. 2P + Q
2. 3P - 2Q

Pembahasan:

a) 2P + Q

Langkah 1: Hitung 2P

2P = [

4	2
6	8

]

Langkah 2: Tambahkan dengan Q

2P + Q = [

5	1
8	11

]

b) 3P - 2Q

Langkah 1: Hitung 3P dan 2Q secara terpisah

Langkah 2: Kurangkan hasilnya

3P - 2Q = [

4	5
5	6

]

Soal 2: Perkalian Matriks

Diketahui matriks:

A = [

1	2
3	4

] dan B = [

2	0
1	3

]

Tentukan:

1. AB
2. BA
3. Apakah AB = BA?

Pembahasan:

a) AB

Menggunakan rumus perkalian matriks:

AB = [

4	6
10	12

]

b) BA

BA = [

2	4
9	12

]

c) AB ≠ BA

Ini membuktikan bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif.

B. Determinan dan Invers

Soal 3: Determinan Matriks 3×3

Hitunglah determinan matriks berikut:

M = [

2	1	-1
3	0	2
1	-2	3

]

Pembahasan:

Menggunakan metode Sarrus:

|M| = 2(0)(3) + 1(2)(1) + (-1)(3)(-2) - (-1)(0)(1) - 2(2)(1) - 1(3)(3)

|M| = 0 + 2 + 6 - 0 - 4 - 9

|M| = -5

Soal 4: Invers Matriks 3×3

Tentukan invers dari matriks:

N = [

1	0	1
2	1	0
1	2	1

]

Pembahasan:

1. Hitung determinan

|N| = -1

2. Hitung matriks kofaktor

3. Hitung adjoin

4. Invers = -1 × [

1	-2	1
-2	1	0
1	0	-1

]

C. Aplikasi Matriks

Soal 5: Sistem Persamaan Linear

Gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut:

2x + y = 5

x - 3y = -4

Pembahasan:

1. Ubah ke bentuk matriks:

[

2	1
1	-3

][

x

y

] = [

5

-4

]

2. Gunakan invers matriks

3. Solusi: x = 1, y = 3

D. Soal Pemahaman Konsep

Soal 6: Analisis Sifat Matriks

Diberikan matriks A yang memenuhi A² = A.

1. Apakah A pasti matriks identitas?
2. Berikan contoh matriks yang memenuhi sifat tersebut selain matriks identitas (jika ada).

Pembahasan:

1. A tidak harus matriks identitas

2. Contoh lain: matriks nol atau [

1	0
0	0

]

Matriks dengan sifat A² = A disebut matriks idempoten

Quiz 1

 Fullscreen Mode