Trigonometri kelas 10a
Teori Trigonometri
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga. Berikut ini adalah penjelasan lengkap tentang konsep-konsep dasar trigonometri:Ukuran Sudut
Terdapat dua jenis ukuran sudut yang umum digunakan dalam trigonometri: 1. Derajat: Satu putaran penuh = 360° $$1^{\circ} = \frac{1}{360} \text{ putaran}$$ 2. Radian: Perbandingan antara panjang busur dengan jari-jari lingkaran $$\alpha \text{ radian} = \frac{\text{panjang busur}}{\text{jari-jari}}$$ Hubungan antara derajat dan radian: $$1 \text{ radian} = \frac{180^{\circ}}{\pi}$$ $$1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ radian}$$Fungsi Trigonometri Dasar
Terdapat enam fungsi trigonometri dasar yang didefinisikan dalam segitiga siku-siku: 1. Sinus (sin): $$\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$$ 2. Cosinus (cos): $$\cos \alpha = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}$$ 3. Tangen (tan): $$\tan \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$$ 4. Cosecan (csc): $$\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$$ 5. Secan (sec): $$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$$ 6. Cotangen (cot): $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$$Hubungan Antar Fungsi Trigonometri
Beberapa hubungan penting antar fungsi trigonometri: 1. $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ 2. $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ 3. $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ 4. $$\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$$ 5. $$\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$$Sudut-sudut Istimewa
Berikut adalah nilai-nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa:| Sudut | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | tak terdefinisi |
Grafik Fungsi Trigonometri
Grafik fungsi trigonometri dasar: 1. y = sin x: Periode 360°, amplitudo 1 2. y = cos x: Periode 360°, amplitudo 1 3. y = tan x: Periode 180°, asimtot vertikal pada x = 90° dan x = 270°Identitas Trigonometri
Identitas atau kesamaan adalah suatu persamaan yang berlaku untuk semua nilai pengganti peubahnya. Identitas trigonometri adalah identitas yang memuat perbandingan trigonometri.Cara Membuktikan Identitas Trigonometri:
Ruas kiri diubah dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri dan aljabar sehingga menjadi ruas kanan. Pada tiap soal, dianggap fungsi-fungsi mempunyai nilai terdefinisi.Contoh Pembuktian Identitas Trigonometri:
1. Buktikan: $$(sin \alpha - cos \alpha)^2 + (sin \alpha + cos \alpha)^2 = 2$$ Bukti: $$(sin^2 \alpha - 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha) + (sin^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha)$$ $$= 2 sin^2 \alpha + 2 cos^2 \alpha$$ $$= 2 (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) = 2 \cdot 1 = 2$$ (terbukti) 2. Buktikan: $$\frac{1 + sin \alpha}{1 - sin \alpha} = \frac{1}{cos^2 \alpha} + tan \alpha$$ Bukti: $$\frac{1 + sin \alpha}{1 - sin \alpha} = \frac{(1 + sin \alpha)^2}{(1 - sin \alpha)(1 + sin \alpha)}$$ $$= \frac{1 + 2sin \alpha + sin^2 \alpha}{1 - sin^2 \alpha}$$ $$= \frac{1 + 2sin \alpha + sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}$$ $$= \frac{1}{cos^2 \alpha} + \frac{2sin \alpha}{cos^2 \alpha} + \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}$$ $$= \frac{1}{cos^2 \alpha} + \frac{2sin \alpha}{cos^2 \alpha} + tan^2 \alpha$$ $$= \frac{1}{cos^2 \alpha} + 2tan \alpha + tan^2 \alpha$$ $$= \frac{1}{cos^2 \alpha} + tan \alpha(2 + tan \alpha)$$ $$= \frac{1}{cos^2 \alpha} + tan \alpha$$ (terbukti)Identitas Trigonometri Penting:
1. $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$ 2. $$1 + tan^2 \alpha = sec^2 \alpha$$ 3. $$1 + cot^2 \alpha = cosec^2 \alpha$$ Identitas trigonometri ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai persoalan trigonometri yang lebih kompleks.Aturan Sinus dan Cosinus
Aturan Sinus: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ Aturan Cosinus: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$Luas Segitiga
Rumus luas segitiga menggunakan trigonometri: $$\text{Luas} = \frac{1}{2}ab \sin C$$Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga
Jari-jari lingkaran dalam: $$r = \frac{\text{Luas}}{s}$$ dimana s = setengah keliling segitiga Jari-jari lingkaran luar: $$R = \frac{abc}{4\text{Luas}}$$ Teori trigonometri ini memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, astronomi, dan navigasi.Contoh Soal Trigonometri Tambahan
Soal 1
Tentukan nilai dari sin 150°.
Jawaban:
sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2
Soal 2
Jika cos x = 3/5 dan 0° < x < 90°, tentukan nilai dari tan x.
Jawaban:
Diketahui: cos x = 3/5 dan 0° < x < 90°
sin2 x + cos2 x = 1
sin2 x = 1 - cos2 x = 1 - (3/5)2 = 1 - 9/25 = 16/25
sin x = 4/5
tan x = sin x / cos x = (4/5) / (3/5) = 4/3
Soal 3
Tentukan nilai dari cos 300°.
Jawaban:
cos 300° = cos (360° - 60°) = cos 60° = 1/2
Soal 4
Jika sin A = 5/13 dan cos A positif, tentukan nilai dari cos A.
Jawaban:
sin2 A + cos2 A = 1
cos2 A = 1 - sin2 A = 1 - (5/13)2 = 1 - 25/169 = 144/169
cos A = 12/13 (karena cos A positif)
Soal 5
Tentukan nilai dari tan 225°.
Jawaban:
tan 225° = tan (180° + 45°) = tan 45° = 1
Quiz 1
