Trigonometri kelas 10b, koordinat kutub dan persamaan trigonometri

Quiz 1

 Fullscreen Mode

Teori dan Rumus Trigonometri Koordinat Kutub

Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

Letak suatu titik pada bidang xy dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius yaitu (x,y) atau koordinat kutub (r, θ°).

Hubungan antara Koordinat

Hubungan antara koordinat Cartesius dan kutub adalah sebagai berikut:

• y = r * sin(θ°)
• x = r * cos(θ°)

Mengubah dari Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius

Rumus untuk mengubah dari koordinat kutub ke kartesius adalah:

• r² = x² + y²
• tan(θ°) = y/x

Contoh Soal

Contoh 1:

Tentukan koordinat cartesius dari titik A(10, 330°)

x = r * cos(θ°) = 10 * cos(330°) = 10 * (√3/2) = 5√3

y = r * sin(θ°) = 10 * sin(330°) = 10 * (-1/2) = -5

Contoh 2:

Tentukan koordinat kutub dari B(-10√3, 10)

r = √((-10√3)² + (10)²) = √(300 + 100) = 20

tan(θ°) = y/x = 10 / (-10√3) → θ° = 180 - 30 = 150°

Latihan

• Tentukanlah koordinat cartesius dari titik-titik berikut:
  • (20, 60°)
  • P(10, 120°)
  • Q(20, 225°)
• Tentukanlah koordinat kutub dari titik-titik berikut:
  • (5√3, 5)
  • (-2, 2√3)

Persamaan Trigonometri yang Sederhana

Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar

Berikut adalah rumus penyelesaian untuk beberapa persamaan trigonometri dasar:

**** Sinus

Untuk persamaan sin x° = sin α° (x ∈ R), solusi adalah:

• x₁ = α + k • 360°
• x₂ = (180° - α) + k • 360°, k ∈ B

**** Kosinus

Untuk persamaan cos x° = cos α°, solusi adalah:

• x₁ = α + k • 360°
• x₂ = -α + k • 360°

**** Tangen

Untuk persamaan tan x° = tan α°, solusi adalah:

• x = α + k • 180°

Contoh Penyelesaian

Berikut adalah contoh penyelesaian untuk beberapa persamaan trigonometri:

**** Contoh 1

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

sin x° = \frac{1}{2} \sqrt{3}, dengan interval \(0 \leq x \leq 360\)

Solusi:

• Dengan menggunakan rumus sinus:
  • x₁ = 60° + k • 360°
  • x₂ = (180° - 60°) + k • 360° = 120° + k • 360°
• Himpunan Penyelesaian dalam interval:
  • Hp = {60°, 120°}

**** Contoh 2

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

cos 2x = -\frac{1}{2} \sqrt{2}, dengan interval \(0 \leq x \leq 2\pi\)

Solusi:

• Dengan menggunakan rumus kosinus:
  • 2x = \alpha + k • 2π
  • 2x = π - \frac{\pi}{4} + k • 2π
• Maka:
  • x₁ = \frac{3}{4}π + k • π
  • x₂ = -\frac{3}{4}π + k • π
• Himpunan Penyelesaian:
  • Hp = {\frac{1}{2}π, \frac{3}{2}π}

Latihan

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan berikut ini dalam interval untuk \(0 \leq x \leq 360\):

• a. \(sin x^{\circ}=\frac{1}{2} \sqrt{2}\)
• b. \(cos 3x^{\circ}-\frac{1}{2} \sqrt{3}=0\)
• c. \(sin(3x^{\circ}-45^{\circ})=-\frac{1}{2} \sqrt{2}\)