Deret Aritmatika dan Geometri
Quiz 1
Quiz 2:
Fullscreen Mode
Fullscreen Mode
Quiz 3:
Fullscreen Mode
Fullscreen Mode
Deret Aritmatika dan Geometri - Bagian 1
A. Pengertian Dasar
- Barisan: Kumpulan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu (U₁, U₂, U₃, ..., Uā₋₁, Uā)
- Deret: Jumlah dari suku-suku barisan
B. Barisan Aritmatika
Contoh: 2, 5, 8, 11, ...
Model: a, a+b, a+2b, ...
Rumus suku ke-n:
\[ U_n = a + (n-1)b \]
Beda (b):
\[ b = U_n - U_{n-1} \]
\[ U_m - U_n = (m-n)b \]
Suku Tengah:
\[ 2U_t = U_1 + U_n \]
Jumlah n Suku Pertama:
\[ S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b] \]
C. Barisan Geometri
Contoh: 2, 6, 18, 54, ...
Model: a, ar, ar², ar³, ...
Rumus suku ke-n:
\[ U_n = ar^{n-1} \]
Rasio:
\[ r = \frac{U_n}{U_{n-1}} \]
\[ r^{m-n} = \frac{U_m}{U_n} \]
Suku Tengah:
\[ U_t^2 = U_1 \cdot U_n \]
Jumlah n Suku Pertama:
\[ S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \]
D. Sisipan dalam Barisan
1. Sisipan Barisan Aritmatika
Rumus sisipan 2 bilangan:
\[ b' = \frac{b}{k+1} \] dimana:- b' = beda baru setelah penyisipan
- b = beda awal
- k = jumlah bilangan yang disisipkan
Rumus perbandingan jumlah:
\[ \frac{Sn'}{Sn} = \frac{n'}{n} \]2. Sisipan Barisan Geometri
Rumus rasio baru setelah penyisipan:
\[ r' = \sqrt[k+1]{r} \] dimana:- r' = rasio baru setelah penyisipan
- r = rasio awal
- k = jumlah bilangan yang disisipkan
E. Deret Geometri Tak Hingga
Untuk -1 < r < 1 (konvergen):
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = S_\infty = \frac{a}{1-r} \]
F. Contoh Soal dan Penerapan
1. Barisan Aritmatika
Contoh 1: Barisan 2, 5, 8, 11, ...
- a = 2 (suku pertama)
- b = 3 (beda)
- Suku ke-n: \( U_n = 2 + (n-1)3 \)
- Jumlah n suku pertama: \( S_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)3] \)
2. Barisan Geometri
Contoh 2: Barisan 2, 6, 18, 54, ...
- a = 2 (suku pertama)
- r = 3 (rasio)
- Suku ke-n: \( U_n = 2(3)^{n-1} \)
- Jumlah n suku pertama: \( S_n = 2\frac{3^n-1}{3-1} \)
G. Rumus Cepat dan Tips
| Barisan Aritmatika | Barisan Geometri |
|---|---|
| \[ U_n = U_1 + (n-1)b \] | \[ U_n = U_1 \cdot r^{n-1} \] |
| \[ S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) \] | \[ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \] |
Tips Mengerjakan Soal:
- Identifikasi jenis barisan (aritmatika/geometri)
- Tentukan suku pertama (a) dan beda (b) atau rasio (r)
- Gunakan rumus yang sesuai dengan yang ditanyakan
- Untuk deret tak hingga, pastikan -1 < r < 1
.jpeg)
