Fungsi komposisi
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Domain, Kodomain, dan Range
- Domain (Daerah Asal)
- Definisi: Himpunan input dari fungsi.
- Syarat-syarat domain:
- Bentuk \(\sqrt{f(x)}\): Domain adalah \(f(x) \geq 0, x \in R\).
- Bentuk \(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\): Domain adalah \(f(x) > 0, x \in R\).
- Bentuk \(\frac{1}{f(x)}\): Domain adalah \(x \in R, f(x) \neq 0\).
- Bentuk \({}^{a} \log f(x)\): Domain adalah \(f(x) > 0\).
- Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan yang mencakup semua kemungkinan hasil dari fungsi.
- Range (Daerah Hasil): Himpunan hasil yang benar-benar dicapai oleh fungsi.
Komposisi Fungsi
Jika terdapat dua fungsi \(f: x \rightarrow y\) dan \(g: y \rightarrow z\), maka komposisi fungsi ditulis sebagai:
\[ z = (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]Sifat-sifat Komposisi Fungsi:
- Tidak komutatif: \((f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\)
- Asosiatif: \((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\)
- Identitas: \(f \circ I = I \circ f = f\)
Invers Fungsi
Misalkan \(f: x \rightarrow y\), invers dari fungsi tersebut ditulis sebagai:
\[ y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) \]Sifat-sifat Invers Fungsi:
- \((f^{-1})^{-1} = f\)
- \(f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I\)
- \((f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}\)
Jenis-Jenis Fungsi
1. Fungsi Genap
Fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi sifat:
f(-x) = f(x)
Grafik fungsi genap memiliki simetri terhadap sumbu y.
Contoh: \(f(x) = x^2\)
2. Fungsi Ganjil
Fungsi ganjil adalah fungsi yang memenuhi sifat:
f(-x) = -f(x)
Grafik fungsi ganjil memiliki simetri terhadap titik asal.
Contoh: \(f(x) = x^3\)
3. Fungsi Injektif (Satu-satu)
Fungsi injektif adalah fungsi di mana setiap elemen pada domain memiliki pasangan unik di kodomain. Tidak ada dua elemen domain yang memiliki hasil fungsi yang sama.
Sifat:
f(x1) ≠ f(x2) → x1 ≠ x2
Contoh: \(f(x) = 2x + 3\)
4. Fungsi Surjektif (Pada)
Fungsi surjektif adalah fungsi di mana setiap elemen pada kodomain memiliki pasangan dari domain. Artinya, seluruh elemen kodomain tercakup.
Contoh: \(f(x) = x^2\) pada \(x \geq 0\).
5. Fungsi Bijektif
Fungsi bijektif adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari fungsi injektif dan surjektif. Dengan kata lain, fungsi ini bersifat satu-satu dan pada.
Contoh: \(f(x) = x + 1\)
Grafik berikut menunjukkan contoh fungsi bijektif:
Kesimpulan
Jenis-jenis fungsi memberikan cara berbeda untuk memahami hubungan antara domain dan kodomain, seperti simetri grafik, keunikan pasangan, dan cakupan hasil fungsi.
Operasi Aljabar Fungsi
Operasi aljabar fungsi melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. Berikut adalah teori dan rumus lengkapnya:
1. Penjumlahan Fungsi
Penjumlahan fungsi didefinisikan sebagai:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Contoh: Jika \(f(x) = 2x + 1\) dan \(g(x) = x^2\), maka:
(f + g)(x) = (2x + 1) + x^2 = x^2 + 2x + 1
2. Pengurangan Fungsi
Pengurangan fungsi didefinisikan sebagai:
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
Contoh: Jika \(f(x) = 2x + 1\) dan \(g(x) = x^2\), maka:
(f - g)(x) = (2x + 1) - x^2 = -x^2 + 2x + 1
3. Perkalian Fungsi
Perkalian fungsi didefinisikan sebagai:
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
Contoh: Jika \(f(x) = 2x + 1\) dan \(g(x) = x^2\), maka:
(f . g)(x) = (2x + 1) * x^2 = 2x^3 + x^2
4. Pembagian Fungsi
Pembagian fungsi didefinisikan sebagai:
(f ÷ g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0
Contoh: Jika \(f(x) = 2x + 1\) dan \(g(x) = x^2\), maka:
(f ÷ g)(x) = (2x + 1) / x^2
Grafik Visual
Berikut adalah representasi grafik operasi aljabar fungsi:
Kesimpulan
Operasi aljabar fungsi memberikan fleksibilitas dalam menggabungkan dua fungsi untuk menghasilkan fungsi baru. Pengetahuan ini penting untuk menyelesaikan permasalahan kompleks dalam matematika.
Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi adalah operasi matematika yang menggabungkan dua fungsi, di mana output dari fungsi pertama menjadi input fungsi kedua. Jika \(f(x)\) dan \(g(x)\) adalah dua fungsi, maka komposisi fungsi ditulis sebagai:
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
1. Definisi
Dalam komposisi fungsi, hasil dari fungsi \(f(x)\) digunakan sebagai input untuk fungsi \(g(x)\). Dengan kata lain, domain fungsi \(f(x)\) harus sesuai dengan domain fungsi \(g\).
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
- Tidak Komutatif: Umumnya, \((f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)\).
- Asosiatif: \((f ∘ g ∘ h)(x) = f(g(h(x)))\).
- Elemen Identitas: Komposisi dengan fungsi identitas \(I(x)\) menghasilkan fungsi itu sendiri: \(f ∘ I(x) = f(x)\).
3. Penentuan Domain Komposisi
Domain komposisi fungsi \((g ∘ f)(x)\) adalah himpunan semua nilai \(x\) dalam domain \(f(x)\) yang menghasilkan nilai \(f(x)\) berada dalam domain \(g(x)\).
Contoh: Jika \(f(x) = x + 2\) dan \(g(x) = \sqrt{x}\), maka domain \((g ∘ f)(x)\) adalah \(x \geq -2\), karena \(f(x) \geq 0\) diperlukan untuk \(g(x)\).
4. Contoh Soal
Soal: Diketahui \(f(x) = 2x - 1\) dan \(g(x) = x^2 + 1\), tentukan \((g ∘ f)(x)\).
Penyelesaian:
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x - 1)
= (2x - 1)^2 + 1
= 4x^2 - 4x + 2
Grafik Visual
Berikut adalah representasi grafik dari komposisi fungsi:
Kesimpulan
Komposisi fungsi memungkinkan kita menggabungkan dua fungsi menjadi satu, dengan memahami sifat-sifatnya dan domainnya. Teknik ini sangat penting dalam menyelesaikan berbagai persoalan matematika kompleks.
Fungsi Invers
Fungsi invers \([f^{-1}(x)]\) adalah fungsi yang membalikkan pemetaan fungsi asli \(f(x)\), sehingga berlaku relasi:
f(f^{-1}(x)) = x
1. Definisi
Fungsi invers membalikkan pemetaan fungsi asal, di mana domain dari \(f(x)\) menjadi range dari \(f^{-1}(x)\) dan sebaliknya.
2. Syarat
Agar suatu fungsi memiliki invers, fungsi tersebut harus bersifat bijektif, yaitu injektif (satu-satu) dan surjektif (pada).
3. Metode Pencarian Invers
- Tukar posisi \(x\) dan \(y\) dalam persamaan \(y = f(x)\).
- Selesaikan persamaan untuk \(y\) sebagai fungsi dari \(x\).
Contoh: Jika \(f(x) = 2x + 3\), tentukan \(f^{-1}(x)\).
1. Tukar \(x\) dan \(y\): \(x = 2y + 3\).
2. Selesaikan untuk \(y\): \(y = \frac{x - 3}{2}\).
Jadi, \(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\).
4. Sifat-Sifat Invers
- \((f^{-1})^{-1} = f\)
- \(f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I(x)\) (fungsi identitas).
- \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)
5. Grafik Fungsi Invers
Grafik fungsi \(f(x)\) dan \(f^{-1}(x)\) akan simetris terhadap garis \(y = x\).
6. Contoh Soal
Soal: Diketahui \(f(x) = x^2, x \geq 0\). Tentukan \(f^{-1}(x)\).
Penyelesaian:
1. Tukar \(x\) dan \(y\): \(x = y^2\).
2. Selesaikan untuk \(y\): \(y = \sqrt{x}\), dengan syarat \(x \geq 0\).
Jadi, \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}, x \geq 0\).
Kesimpulan
Fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan proses fungsi asli. Pemahaman sifat dan metode pencarian invers sangat penting untuk menyelesaikan berbagai persoalan matematika, terutama pada fungsi bijektif.
.jpeg)
