Suku Banyak (Polinomial)

Quiz 1

 Fullscreen Mode

Teori dan Rumus Suku Banyak (Polinomial)

Definisi

Suku banyak atau polinomial adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel (biasanya dilambangkan dengan x) dan koefisien yang digabungkan menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Bentuk umum suku banyak derajat-n adalah:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Di mana:

• a_n, a_n-1, ..., a₀: Koefisien suku banyak.
• x: Variabel.
• n: Derajat tertinggi suku banyak.

Operasi pada Polinomial

Penjumlahan dan Pengurangan

Dua polinomial dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan menjumlahkan atau mengurangkan koefisien dari suku-suku yang memiliki pangkat yang sama.

Perkalian

Perkalian dua polinomial dilakukan dengan mendistribusikan setiap suku dari polinomial pertama ke setiap suku dari polinomial kedua.

Pembagian Polinomial

Pembagian polinomial dilakukan menggunakan metode pembagian panjang (*long division*) atau skema Horner.

Rumus Penting

Sisa Pembagian Polinomial (Teorema Sisa)

Sisa pembagian suatu polinomial \(P(x)\) oleh bentuk linear \((x - c)\) adalah \(P(c)\).

P(x) = (x - c)Q(x) + R

Di mana:

• \(Q(x)\): Hasil bagi.
• \(R\): Sisa pembagian.
• \(P(c)\): Nilai polinomial saat \(x = c\).

Akar-Akar Polinomial

Akar-akar polinomial adalah nilai-nilai \(x\) yang membuat \(P(x) = 0\). Jika suatu polinomial dapat difaktorkan menjadi:

P(x) = (x - r₁)(x - r₂)...(x - rₙ)

Maka akar-akarnya adalah \(r₁, r₂, ..., rₙ\).

Kisi-Kisi Soal

1. Tentukan nilai sisa dari pembagian \(P(x)\) oleh \((x - c)\) menggunakan Teorema Sisa.
2. Cari akar-akar dari polinomial \(P(x)\) jika diketahui faktornya.
3. Lakukan operasi penjumlahan antara dua polinomial berikut: \(P(x)\) dan \(Q(x)\).
4. Selesaikan pembagian panjang antara dua polinomial berikut.
5. Tentukan derajat dan koefisien utama dari polinomial berikut.

Teorema Faktor

Teorema Faktor menyatakan bahwa jika \(P(c) = 0\), maka \((x - c)\) adalah faktor dari polinomial \(P(x)\). Dengan kata lain, nilai \(c\) adalah akar dari polinomial tersebut.

P(x) = (x - c)Q(x)

Di mana:

• \(P(x)\): Polinomial utama.
• \((x - c)\): Faktor polinomial.
• \(Q(x)\): Polinomial hasil bagi.

Skema Horner

Skema Horner adalah metode cepat untuk menghitung nilai suatu polinomial atau membagi polinomial dengan bentuk linear \((x - c)\). Langkah-langkahnya adalah:

1. Tulis koefisien polinomial dalam urutan menurun pangkatnya.
2. Masukkan nilai \(c\) ke dalam skema.
3. Lakukan operasi perkalian dan penjumlahan untuk mendapatkan sisa pembagian atau nilai \(P(c)\).

Contoh Skema Horner

Cari nilai \(P(2)\) untuk polinomial berikut:

P(x) = 2x³ - 3x² + x - 5

Langkah Penyelesaian:

Koefisien: [2, -3, 1, -5] Nilai \(c = 2\). Skema Horner:

          2   |   -3   |   1   |   -5

               |       +4   |   +2   |   +6

          ---------------------------------

          2       1       3       1

        

Hasilnya adalah \(P(2) = 1\).

Pembagian Panjang Polinomial

Pembagian panjang digunakan untuk membagi polinomial dengan polinomial lain. Langkah-langkahnya adalah:

1. Bagi suku pertama pembilang dengan suku pertama penyebut.
2. Kalikan hasilnya dengan seluruh penyebut dan kurangkan dari pembilang.
3. Lanjutkan dengan suku berikutnya hingga selesai.

Contoh Pembagian Panjang

Bagi \(P(x) = x³ + 4x² - x - 4\) dengan \(Q(x) = x + 3\).

Langkah-langkah:

      x³ + 4x² - x - 4 : (x + 3)

      ---------------------------------

      x²           -> Hasil bagi pertama

      -(x³ + 3x²)

      ---------------------------------

           x² - x

           x       -> Hasil bagi kedua

      -(x² + 3x)

      ---------------------------------

              -4

              -4      -> Hasil bagi ketiga

      ---------------------------------

              Sisa = -4

      

Hasilnya adalah: \[ P(x) : Q(x) = x² + x -4 \text{ (sisa = -4)} \]

Determinan Polinomial

Determinan polinomial adalah nilai yang menunjukkan hubungan antara akar-akar polinomial dengan koefisiennya. Untuk polinomial derajat dua atau lebih, hubungan ini dapat dijelaskan menggunakan *rumus akar-akarnya*.

Rumus Akar-Akar Polinomial Derajat Dua

Untuk polinomial kuadrat \(P(x) = ax² + bx + c\), akar-akarnya dapat dihitung dengan rumus:

x₁, x₂ = \(\frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)

Di mana:

• \(x₁\) dan \(x₂\): Akar-akar polinomial.
• \(a\), \(b\), \(c\): Koefisien polinomial.
• \(b² - 4ac\): Diskriminan (\(D\)), yang menentukan jenis akar.

Diskriminan (\(D\))

Diskriminan dari polinomial kuadrat memberikan informasi tentang sifat akar-akarnya:

• \(D > 0\): Polinomial memiliki dua akar real dan berbeda.
• \(D = 0\): Polinomial memiliki dua akar real dan sama (kembar).
• \(D < 0\): Polinomial memiliki dua akar kompleks konjugat.

Kaitan Koefisien dan Akar-Akar Polinomial

Untuk polinomial kuadrat \(P(x) = ax² + bx + c\), hubungan antara koefisien dan akar-akarnya adalah:

• Jumlah Akar (\(x₁ + x₂\)): \(-\frac{b}{a}\)
• Hasil Kali Akar (\(x₁ \cdot x₂\)): \(\frac{c}{a}\)

Contoh Soal

Diketahui polinomial \(P(x) = 2x² - 4x - 6\). Tentukan:

1. Akar-akarnya.
2. Jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Penyelesaian:

1. Akar-Akar:
\[ x₁, x₂ = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)² - 4(2)(-6)}}{2(2)} \] \[ x₁, x₂ = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} \] \[ x₁ = 3,\; x₂ = -1 \]
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar:
Jumlah akar (\(x₁ + x₂\)) = \(-\frac{-4}{2} = 2\). Hasil kali akar (\(x₁ \cdot x₂\)) = \(\frac{-6}{2} = -3\).

Jadi, akar-akarnya adalah \(x₁ = 3\), \(x₂ = -1\), jumlahnya \(2\), dan hasil kalinya \(-3\).

Kisi-Kisi Soal Tambahan

1. Tentukan diskriminan dari polinomial kuadrat berikut dan sifat akarnya.
2. Cari jumlah dan hasil kali akar dari suatu polinomial kuadrat tanpa mencari akarnya secara langsung.
3. Lakukan analisis grafik untuk menentukan titik potong dengan sumbu-x dari suatu polinomial kuadrat.
4. Pecahkan masalah dunia nyata menggunakan model polinomial kuadrat (misalnya, lintasan benda yang dilempar).