Quiz 1:
 Fullscreen Mode

LINGKARAN DASAR LEVEL SMA

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama dari suatu titik tertentu yang disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama ini disebut jari-jari lingkaran.

2. Unsur-Unsur Lingkaran

2.1 Jari-jari (r)

Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke titik pada lingkaran.

2.2 Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat lingkaran. Diameter adalah dua kali jari-jari.

d = 2r

2.3 Busur Lingkaran

Busur lingkaran adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari lingkaran. Busur lingkaran dibedakan menjadi:

• Busur kecil (busur minor): busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.
• Busur besar (busur mayor): busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran.

2.4 Tali Busur

Tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Tali busur terpanjang adalah diameter.

2.5 Juring Lingkaran (Sektor)

Juring lingkaran adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran. Juring lingkaran dibedakan menjadi:

• Juring kecil: juring yang luasnya kurang dari setengah luas lingkaran.
• Juring besar: juring yang luasnya lebih dari setengah luas lingkaran.

2.6 Tembereng

Tembereng adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran.

3. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

3.1 Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada pusat lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah jari-jari lingkaran.

3.2 Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya berupa tali busur.

Teorema Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka:

Sudut pusat = 2 × Sudut keliling

Atau:

Sudut keliling = ½ × Sudut pusat

4. Sifat-Sifat Sudut Keliling

A. Teorema Thales

Jika tiga titik A, B, dan C terletak pada lingkaran dan AB adalah diameter, maka ∠ACB adalah sudut siku-siku (90°).

B. Sudut-Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama

Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama.

Contoh Soal

Pada lingkaran dengan pusat O, jika sudut pusat AOB = 120°, maka sudut keliling yang menghadap busur AB adalah...

Jawab:

Sudut keliling = ½ × Sudut pusat

Sudut keliling = ½ × 120° = 60°

5. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik.

5.1 Sifat-Sifat Garis Singgung

Sifat 1: Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari maupun diameter yang melalui titik singgung itu.

Sifat 2: Melalui suatu titik pada lingkaran, hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran itu.

Sifat 3: Melalui satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung.

5.2 Panjang Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran

Jika dari titik P di luar lingkaran ditarik garis singgung ke lingkaran yang berpusat di O dengan titik singgung di titik A, maka:

PA² = PO² - OA²

atau

PA = √(PO² - r²)

dimana r adalah jari-jari lingkaran.

5.3 Layang-Layang Garis Singgung

Jika dari titik P di luar lingkaran ditarik dua garis singgung PA dan PB, maka:

• Panjang kedua garis singgung sama, yaitu PA = PB
• Segiempat OAPB adalah layang-layang garis singgung

Luas layang-layang OAPB = 2 × luas segitiga OPA

atau

Luas layang-layang OAPB = ½ × OP × AB

6. Teorema PITOT

Dalam segitiga garis singgung ABC, jika P adalah titik dalam segitiga dan dari P ditarik garis singgung ke lingkaran, maka berlaku:

AB + PC = AC + PB

7. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

7.1 Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar adalah garis yang menyinggung dua lingkaran dan kedua lingkaran berada di sisi yang sama dari garis tersebut.

l = √(p² - (R - r)²)

dimana:

l = panjang garis singgung persekutuan luar

p = jarak antara kedua pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran yang lebih besar

r = jari-jari lingkaran yang lebih kecil

7.2 Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung dua lingkaran dan kedua lingkaran berada di sisi yang berlawanan dari garis tersebut.

d = √(p² - (R + r)²)

dimana:

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

p = jarak antara kedua pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

Contoh Soal

Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 8 cm dan 3 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut.

Jawab:

Diketahui: R = 8 cm, r = 3 cm, p = 13 cm

Panjang garis singgung persekutuan luar:

l = √(p² - (R - r)²)

l = √(13² - (8 - 3)²)

l = √(169 - 25)

l = √144 = 12 cm

8. Segiempat Tali Busur

Segiempat tali busur adalah segiempat yang semua titik sudutnya terletak pada lingkaran. Segiempat tali busur memiliki sifat bahwa jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°.

∠A + ∠C = 180°

∠B + ∠D = 180°

9. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

9.1 Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga. Pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut pada segitiga tersebut.

Jari-jari lingkaran dalam segitiga:

r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]

dimana:

s = (a + b + c)/2 (setengah keliling segitiga)

a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga

9.2 Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

Jari-jari lingkaran luar segitiga:

R = abc/[4√(s(s-a)(s-b)(s-c))]

dimana:

s = (a + b + c)/2 (setengah keliling segitiga)

a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga

10. Luas dan Keliling Lingkaran

10.1 Keliling Lingkaran

K = 2πr

atau

K = πd

dimana:

r = jari-jari lingkaran

d = diameter lingkaran

π = 3,14 atau 22/7

10.2 Luas Lingkaran

L = πr²

dimana:

r = jari-jari lingkaran

π = 3,14 atau 22/7

10.3 Panjang Busur

Panjang busur = (θ/360°) × 2πr

dimana:

θ = besar sudut pusat dalam derajat

r = jari-jari lingkaran

10.4 Luas Juring

Luas juring = (θ/360°) × πr²

dimana:

θ = besar sudut pusat dalam derajat

r = jari-jari lingkaran

10.5 Luas Tembereng

Luas tembereng = Luas juring - Luas segitiga

Luas tembereng = (θ/360°) × πr² - (1/2) × r² × sin θ

dimana:

θ = besar sudut pusat dalam derajat

r = jari-jari lingkaran

11. Tips dan Trik Mengerjakan Soal Lingkaran

1. Pahami hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
2. Ingat bahwa sudut keliling yang menghadap diameter adalah 90°.
3. Untuk soal yang melibatkan garis singgung, gunakan teorema Pythagoras.
4. Untuk segiempat tali busur, ingat bahwa jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°.
5. Gunakan rumus garis singgung persekutuan dengan teliti, perhatikan perbedaan antara garis singgung persekutuan luar dan dalam.

Catatan Penting

Saat menyelesaikan soal lingkaran, selalu perhatikan dengan teliti apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan. Buatlah sketsa gambar jika perlu untuk membantu pemahaman.